49
23
ОБЕМ НА ПРАВИЛНА ПИРАМИДА
Формулата за пресмятане на обем на права призма получихме като „раз-
рязахме“ правоъгълен паралелепипед по подходящ начин на еднакви пра-
ви призми. За да получим формула за пресмятане на обем на пирамида,
ще постъпим по подобен начин.
Можем да разрежем куб
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
с дължина на ръба
a
на три ед-
накви четириъгълни пирамиди –
ABCDA
1
,
BCC
1
B
1
A
1
и
DCC
1
D
1
A
1
. На все-
ки чертеж е оцветена една от тях. Основата на всяка от пирамидите е сте-
на на куба, а височината Ӝ е ръб на куба. Обемът на куба е равен на
a
3
.
Обемът на една от пирамидите е равен на
1
3
от него, т.е. на
1
3
.
a
3
.
Всяка от пирамидите има за основа
стена на куба с лице
B
=
a
2
и за висо-
чина
h
– ръб на куба, т.е.
h
=
a
.
За обема
V
на една от пирамидите по-
лучаваме:
V
=
1
3
.
a
3
=
1
3
.
a
2
.
a
, т.е.
V
=
1
3
.
B
.
h
.
Може да се докаже, че получената формула е вярна и за обема
V
на всяка
пирамида с лице на основата
B
и с дължината на височината
h
.
Обемът на пирамида е равен на една трета
от произведението на лицето
B
на основата и дължината
h
на височината на пирамидата, т.е.
V
=
1
3
.
B
.
h
.
Верността на тази формула може да се провери и
опитно, като се използват два съда – с форма на
призма и на пирамида, които имат равни височини
и основи с равни лица. Напълваме пирамидата
последователно с декоративен пясък в различни
цветове и
пресипваме в призмата. Опитът показва,
че призмата се напълва точно след три пресипвания.
Това означава, че обемът на пирамидата е равен на
една трета от обема призмата.
1.
Намерете обема на пирамида с лице на основата
B
и височина
h
, ако:
a)
h
= 9 cm и
B
=35 cm
2
;
б)
h
= 12 cm и
B
= 0,48 dm
2
.
2.
Намерете обема на правилна
n
-ъгълна пирамида с височина
h,
основен
ръб
b
,
основа с
периметър
P
и апотема
a
, ако:
а)
n =
9,
h
= 12 cm,
P
= 45 cm и
a
= 6,9 cm;
б)
n =
7,
h
= 15 cm,
b
= 10 cm и
a
= 10,38 cm.
3.
Намерете обема на правилна четириъгълна пирамида:
a) с височина 6 cm, лице на повърхнината 216 cm
2
и лице на
околната повърхнина 135 cm
2
б) с височина 6 dm и с периметър на основата 8,4 dm.
а)
V
=
1
3
.
B
.
h
,
B
=
P a
.
2
,
B
=
45 6 9
2
. ,
B
= 155,25 cm
2
;
h
= 12 cm
V
=
1
3
.155,25.12 = 621,
V
= 621 cm
3
.
A
B
C
a
a
a
a
a
D
D
1
A
1
B
1
C
1
b
b
h
h
h
h
b
b
b
b
h
3
h
3
h
3
A
A
A
B
B
B
C
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
D
D
D
C
C
C
1
C
1
D
1
D
1
A
1
B
1
B
1
B
1
A
1
A
1
D
1
C
1