63
Ако срежем картонен модел на конус по една от образуващите му и по
окръжността, заграждаща основата му, получаваме развивка на конус. Тя
се състои от кръг с радиус
r
(основата на конуса) и развивката на околната
му повърхнина.
Развивката на околната повърхнина е фигура, която е част от кръг с ради-
ус
l
. Тази част е ограничена от два радиуса и част от окръжността, заграж-
даща кръга (частта от окръжността между точките
A
и
A
1
– дъгата
AA
1
).
Такава част от кръг се нарича
кръгов сектор
.
Дължината
m
на дъгата
AA
1
(на дъгата на кръговия сектор) е равна на дъл-
жината на окръжността, заграждаща основата на конуса, т.е.
m
= 2.π.
r
.
Нека ъгълът между радиусите, ограничаващи кръговия сектор, е равен на
α°. За да начертаем развивката на конус по дадени дължини на радиуса
r
на основата и на образуващата
l
, е необходимо да можем да намираме
стойността на α.
Ако ъгълът между радиусите на кръговия сектор е равен на 90°, то дъл-
жината на дъгата на сектора ще е равна на една четвърт от дължината на
окръжност с радиус
l
, т.е. на
1
4
.2.π.
l
=
1
2
.π.
l
. От това, че 1° е
1
90
от 90°
следва, че дължината на дъгата на сектор с ъгъл 1° ще е
1
90
от
1
2
.π.
l
, т.е.
ще е равна на
1
180
.π.
l
. Следователно за дължината
m
на дъгата на кръговия
сектор, който е развивка на околната повърхнина на конуса, получаваме,
че
m
= α.
1
180
.π.
l
. От друга страна,
m
= 2.π.
r
.
Следователно 2.π.
r
= α.
1
180
.π.
l
и α =
r
l
.360.
Получихме, че
големината на ъгъла на кръговия сектор, който е
околна повърхнина на конус с радиус
r
и образуваща
l,
се намира по
формулата α =
r
l
.360°
.
3.
Проверете дали начертаната фигура е развивка на конус.
а)
б)
в)
4.
Намерете неизвестния елемент, ако начертаната фигура е развивка на
конус.
а)
45°
1
x
б)
180°
1
x
в)
1
12
x
в) α =
r
l
.360°,
r
= 1,
l
= 6,
α =
1
6
.360° = 60°.
Фигурата е развивка на конус.
r
2.
π
.
r
A
1
A
M
l
l
α
а) α =
r
l
.360°, α° = 45°,
r
= 1,
l
=
x
,
45° =
1
x
.360°,
x
= 360°:45°,
x
= 8.