110
a
b
c
A
Фиг. 2
АКСИОМА ЗА УСПОРЕДНИТЕ ПРАВИ
За да направи план на нов квартал, архитект трябва да начертае успо-
редни прави, чрез които да изобрази част от улиците. Как да използва
знания по геометрия, за да успее?
С помощта на признака за успоредност на две прави можем да построим
през дадена точка права, успоредна на дадена права. Нека запишем про-
блема на архитекта с езика на геометрията.
Задача.
Дадени са права
a
и точка
A
, която не лежи на
a
. През точка
A
да се построи права, успоредна на
a
.
Решение.
Нека точките
B
и
C
са произволни от правата
a
(фиг. 1). Пра-
вата
AB
разделя равнината на две полуравнини. Означаваме с
l
тази, в
която лежи точката
C
, а другата – с
l
.
Нека
ABC
=α
.
В полуравни-
ната
l
нанасяме ъгъл с връх
A
до лъча
AD
®
,
т.е.
BAD
ABC
=
.
Но
ъглите
BAD
и
ABC
са кръстни, получени при пресичането на прави-
те
a
и
AD
с правата
AB
, следователно правата
b
AD
=
е успоредна на
a
.
Интересен е въпросът колко такива прави можем да начертаем. Има ли и
други прави, освен правата
b
, които минават през точка
A
и са успоредни
на правата
a
(фиг. 2)? Може ли да се докаже, че всяка права
c
, различна
от правата
b
, пресича
a
? В книгата си „Елементи“ Евклид без обосновка,
записва твърдението, че през точка
A
, която не лежи на
a
, може да се по-
строи само една права
b
, успоредна на
a.
Още от древността са правени
многобройни опити да се докаже, че правата
b
е единствената. Едва през
XIX век учените са установили, че верността на това твърдение не може
да бъде доказана въз основа на основните свойства и другите доказани
теореми. Следователно е нужно да се приеме още едно основно свойство
за успоредните прави.
Аксиома за успоредните прави
През точка, нележаща на права, минава точно една права, успоредна на
дадената.
Основните свойства на фигурите се наричат още
аксиоми
. Те са твър-
дения, които се приемат за верни без доказателство. Да припомним, че
твърденията, които се получават чрез логически разсъждения, се наричат
теореми и следствия. При доказателството на теоремите и следствията
трябва да използваме само основни свойства (аксиоми) и вече доказани
теореми. Когато доказваме твърдение, не бива да използваме свойства,
които не са основни или не са вече доказани.
От аксиомата за успоредните прави можем да получим важни следствия.
Следствие 1.
Ако две прави са поотделно успоредни на трета, те са
успоредни помежду си.
a
cb
c
a
b
,
.
Þ
Доказателство.
Нека
a
c
и
b
c
.
Да предположим, че правите
a
и
b
не са успоредни, а се пресичат в точка
P
, т.е.
a
b
P
∩
=
(фиг. 3). Така
получаваме, че през точката
P
има две прави, които са успоредни на
c
, а
58.
Фиг. 1
A
B
C
a
b
α
α
D