111
това противоречи на аксиомата за успоредните прави. Следо-
вателно нашето предположение не е вярно и тогава правите
a
и
b
са успоредни.
При доказване на следствие 1 предположихме, че правите
а
и
b
не са успоредни и чрез разсъждения стигнахме до очевидно
неверен факт. По подобен начин ще докажем и
Следствие 2.
Ако две прави са успоредни, всяка права, която пресича
едната от тях, пресича и другата.
Доказателство.
Нека
a
b
и правата
c
пресича правата
a
в точка
M
(фиг. 4). Трябва да докажем, че правата
c
пресича правата
b.
Предпо-
лагаме, че
b
c
и стигаме до противоречие с аксиомата за успоредните
прави, защото получаваме, че през точка
M
има две прави –
a
и
c
, които
са успоредни на
b
. Следователно предположението не е вярно и правата
c
пресича правата
b.
ОПИТАЙ САМ
1.
Даден е триъгълник
ABC
. Колко прави, успоредни на
BC
, могат да се
построят през точка
A
?
а) 0;
б) 1;
в) 2;
г) 3.
2.
Правите
AB
и
CD
се пресичат в точка
O
. Колко прави, които пресичат
AB
и са успоредни на
CD
, могат да се построят? Колко от тях минават през
точка
A
?
3.
Дадени са успоредник
ABCD
и трапец
ABCE
с основи
AB
и
CE.
Докаже-
те, че точка
E
лежи на правата
CD
.
4.
Даден е трапец
ABCD
с основи
AB
и
CD
. Точка
P
лежи на бедрото
AD
, а
точка
Q
– на бедрото
BC
и
PQ
AB
.
Докажете, че
PQ
CD
.
5.
Даден е успоредник
ABCD
и точките
M
и
N
съответно върху страните му
AB
и
CD
. Ако
DAM
AMN
+
=
°
180 ,
докажете, че
MN
BC
.
6.
В трапеца
ABCD
с основи
AB
и
CD
DAB
=
°
65 .
Точките
P
и
Q
лежат
съответно на бедрата
AD
и
BC
и мярката на
APQ
е с
50
°
по-голяма от
мярката на
DPQ
.
Докажете, че
PQ
CD
.
7.
Даден е четириъгълник
ABCD
. Точка
P
лежи на страната
AD
, а точка
Q
–
на страната
BC
. Ако
PQ
AB
и
PQ
CD
,
докажете, че
ABCD
е трапец.
8.
Даден е триъгълник
ABC.
Точките
М
и
Р
лежат на страната
АС,
а точките
N
и
Q
лежат на страната
ВС
. Ако
САВ
= 35°,
AMN
= 145° и
PQ
||
AB
докажете, че
MNQP
е трапец.
a
M
c
b
Фиг. 4
c
b
P
a
Фиг. 3