146
ПЕРПЕНДИКУЛЯР ОТ ТОЧКА КЪМ ПРАВА
Знаем, че ако
а
е права и
А
е точка върху нея, има само една права
b
през
точката
А
, перпендикулярна на
а
, или както се казва, може да се
издигне
единствен перпендикуляр.
Сега ще видим, че ако точката
А
не лежи на правата
а
, има единствена
права
b
през
А
, перпендикулярна на
а
.
Теорема.
През точка, нележаща на дадена права, минава само една пра-
ва, перпендикулярна на дадената права.
Доказателство.
Нека
А
е точка, която не лежи на правата
а
.
Първо ще покажем, че през точката
А
можем да построим права,
перпендикулярна на
а
. Нека
k
е окръжност, която пресича правата
а
в точки
В
и
С
(фиг. 1). Тогава разстоянията от
А
до
В
и
С
са равни,
т.е. точката
А
лежи на симетралата
b
на отсечката
ВС
.
Тъй като
b
е
перпендикулярна на
а
, то
b
е търсената права.
Сега ще покажем, че през точката
А
няма друга права, перпендикулярна
на правата
а
. Да допуснем, че правите
b
и
с
през
А
са перпендикулярни
на
а
(фиг. 2). Тогава, ако
b
и
с
пресичат
а
в точки
Н
и
¢
H
,
в триъгълника
AHH
¢
имаме
AHH
′
=
°
90
и
AH H
′
=
°
90
. Но в един триъгълник не
може да има два прави ъгъла. Полученото противоречие показва, че не
може да има два перпендикуляра от точката
А
към правата
а
.
Когато през точка
А
, нележаща на права
а
, построяваме права, перпен-
дикулярна на
а
, обикновено се казва, че
спускаме перпендикуляр от
А
към
а
.
Пресечната точка на този перпендикуляр с правата
а
се нарича
пета на
перпендикуляра
. (Припомнете си как с линийка и пергел построихме
права през точка, перпендикулярна на дадена права. Вж. стр. 117, урок
61 зад. 6)
На фиг. 3 точките
A
1
,
B
1
и
C
1
са петите на височините през върховете
А
,
В
и
С
.
От доказаната теорема веднага се получава:
Следствие.
През всеки връх в триъгълник можем да спуснем един-
ствена височина към срещулежащата страна.
Определение.
Разстояние от точка
А
до права
а
се нарича дължина-
та на отсечката с краища точката
А
и петата на перпендикуляра, спуснат
от
А
към
а
.
Задача 1.
Да се докаже, че ако две прави са успоредни, то разстоянията
от точките на едната права до другата права са равни.
Дадено.
a
b
||
,
M
a
Î
,
N
a
Î
,
MP
b
^
и
NQ
b
^
(фиг. 5).
Да се докаже.
MP
NQ
=
.
79.
Фиг. 1
Фиг. 2
Фиг. 3
a
b
M
N
P
Q
A
H
b
a
c
H
'
Фиг. 5
A
B
C
1
A
B
C
C
C
1
A
1
B
1
A
1
B
1
Фиг. 4
A
H
a
A
H
B
C
b
a
k